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安徽公务员考试行测复习指导:剩余定理之韩信点兵
http://www.anhuigwy.org       2014-06-10      来源:安徽公务员考试网
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  传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是:让士兵先列成三列纵队(每行三人),再列成五列纵队(每行五人),最后列成七列纵队(每行七人)。他只要知道这队士兵大约的人数,就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人,而推算出这队士兵的准确人数。韩信当时看到的三次列队,最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人,并知道这队士兵约在三四百人之间,你能很快推算出这队士兵的人数吗?


  如果你掌握了中国剩余定理,你是可以做到的,下面给大家介绍一下中国剩余定理的几种形式。


  一、余同加余


  现在有一堆苹果,分给一群人,每个人分3个,剩两个,每个人分4个,剩两个,如何求苹果总数的表达式呢?我们来分析一下,根据已知条件我们可知苹果数除以3余2,除以4也余2,余数相同都为2,我们如果设苹果总数为X,说明(X-2)既能被3整除又能被4整除,也就是能被3和4的最小公倍数12整除,所以X-2=12N,X=12N+2,所以当余数相同时,表达式为除数的公倍数加上相同的余数,这就是余同加余的含义。


  二、和同加和


  现在还是有一堆苹果,每个人分4个剩1个,每个人分3个剩2个,求苹果总数的表达式,分析一下题干,两种情况余数不同,但是除数与余数的和相同,都为5,除以4余1,是相当于除以4余5,除以3余2,相当于除以3余5,那么现在我们就把和同的形式转化成了余同的形式,根据上段的结论,苹果数的表达式X=12N+5,从而我们得出了第二个结论,当除数与余数的和相同时,就用除数的公倍数加上这个相同的和。


  三、差同减差


  一堆苹果,每个人分4个剩3个,每个人分5个剩4个,求苹果总数的表达式,发现两种情况虽然余数不同,但是除数与余数的差值相同,每个人分4个剩3个,说明如果再有一个苹果就可以再分给一个人,也就相当于每个人分4个少1个,同理每个人分5个剩4个相当于每个人分5个少一个,说明苹果数除以4余-1,除以5余-1,现在我们就把差同的形式转化成了余同的形式了。苹果数X=20N-1,从而得出了第三个结论,当除数与余数的差相同时,就用除数的公倍数加上这个相同的差


  四、逐步满足法


  一堆苹果每个人分7个剩3个,每个人分3个剩2个,求苹果总数的表达式。这道题余数不同,和不同,差也不同,这类问题只能用逐步满足法,也就是逐一满足条件,我们首先要找出符合题目中所有条件的最小数字,根据第一句话可知苹果数可表达为7N+3的形式,当N=2时符合第二个条件,所以满足条件的最小数为17,苹果总数的表达式为这个最小数加上除数的公倍数,即17+21N.


  学习完这些理论,下面我们来解一下韩信点兵这个题目,根据已知条件可知人数除以3余2,除以5余2,除以7余4,根据前两个条件可知人数,可首先表示成15N+2,当N=2时,满足除以7余4,所以满足所有条件的最小数为32,人数的最终表达式为32加3、5、7的公倍数,即32+105N.又已知总人数在300到400之间,所以令N=3,总数为32+105×3=347。

 

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